پارت ۸  ترکیب اصل جمع و ضرب

سلام مجدد! 👋

خب…

حالا وقتشه برگردیم سراغ همون سوال معروفمون، ولی این بار یه تغییر کوچیک بدیم:

چند عدد ۴ رقمی زوج میشه ساخت که هیچ رقمی توش تکراری نباشه؟

اگر الان یکم گیج‌کننده به نظر میاد، طبیعیه!

چون این بار باید اصل جمع و اصل ضرب رو با هم استفاده کنیم.

پس آروم آروم مسئله رو می‌شکنیم.

اول شرط‌ها رو ببینیم

عدد ما باید:

۱. چهار رقمی باشه

۲. زوج باشه

۳. هیچ رقمی تکراری نباشه

مثلاً:

5832 ✅

ولی:

5833 ❌

چون رقم ۳ تکرار شده.

از کجا شروع کنیم؟

زوج بودن عدد به رقم یکان بستگی داره.

رقم یکان باید یکی از این‌ها باشه:

۰ ، ۲ ، ۴ ، ۶ ، ۸

اینجا یه نکته داریم:

۰ با بقیه فرق داره.

چرا؟

چون اگر ۰ رو در یکان بذاریم:

_  _  _  ۰

مشکلی برای ۴ رقمی بودن عدد ایجاد نمی‌شه.

اما اگر ۰ رو در هزارگان بذاریم:

۰  _  _  _

دیگه عدد ما ۴ رقمی نیست.

پس بهتره مسئله رو به دو حالت تقسیم کنیم.

حالت اول: یکان = ۰

عدد ما به این شکل درمیاد:

_  _  _  ۰

هزارگان

۰ رو نمی‌تونیم بذاریم.

پس از ۱ تا ۹:

۹ انتخاب

داریم.

۹  _  _  ۰

صدگان

حالا ۲ رقم استفاده شده:

۰ و رقم هزارگان

پس:

۸ انتخاب

۹  ۸  _  ۰

دهگان

حالا ۳ رقم استفاده شده.

پس:

۷ انتخاب

۹  ۸  ۷  ۰

بنابراین:

۹ × ۸ × ۷ = ۵۰۴

پس حالت اول ۵۰۴ عدد دارد.

حالت دوم: یکان ≠ ۰

اینجا یکان می‌تونه:

۲ ، ۴ ، ۶ ، ۸

باشه.

پس ۴ حالت داریم.

برای اینکه ببینیم داخل هر حالت چه اتفاقی میفته، فرض کنیم:

_  _  _  ۲

هزارگان

۰ ممنوعه و ۲ هم قبلاً استفاده شده.

پس از ۱ تا ۹:

۸ انتخاب

۸  _  _  ۲

صدگان

حالا دو رقم استفاده شده.

پس:

۸ انتخاب

۸  ۸  _  ۲

دهگان

سه رقم استفاده شده.

پس:

۷ انتخاب

در نتیجه برای هر انتخاب مشخصِ یکان:

۸ × ۸ × ۷ = ۴۴۸

حالا یادتونه یکان ۴ انتخاب داشت؟

۲ ، ۴ ، ۶ ، ۸

پس:

۴ × ۴۴۸ = ۱۷۹۲

حالا دو حالت رو با هم جمع کنیم

حالت اول:

یکان = ۰  

۵۰۴ حالت

حالت دوم:

یکان = ۲ ، ۴ ، ۶ ، ۸  

۱۷۹۲ حالت

این دو حالت جدا از هم هستن.

پس با اصل جمع:

۵۰۴ + ۱۷۹۲ = ۲۲۹۶

🎉 جواب نهایی: ۲۲۹۶ عدد

پس این مسئله دقیقاً چه چیزی بهمون یاد داد؟

اول مسئله رو به دو حالت شکستیم:

یکان = ۰  

یکان ≠ ۰

بین این دو حالت:

اصل جمع

و داخل هر حالت:

اصل ضرب

یعنی:

تقسیم به حالت‌های جدا → جمع

انتخاب‌های پشت سر هم → ضرب

از این به بعد وقتی یه مسئله دیدی، قبل از اینکه دنبال فرمول بگردی، یه لحظه فکر کن:

«می‌تونم مسئله رو به چند حالت ساده‌تر تقسیم کنم؟»