شروع جایگشت آموزش و یادگیری شروع جایگشت به صورت رایگان
پارت ۱۰ شروع جایگشت
سلام مجدد! 👋
پارت قبل یه صف ۵ نفره داشتیم.
رسیدیم به:
۵ × ۴ × ۳ × ۲ × ۱
و دیدیم که این ضرب، تعداد حالت‌های مختلف قرار گرفتن ۵ نفر کنار هم رو به ما میده.
اما یه سوال:
اگه به جای ۵ نفر، ۱۰ نفر داشته باشیم چی؟
باید هر بار بنویسیم:
۱۰ × ۹ × ۸ × ۷ × ۶ × ۵ × ۴ × ۳ × ۲ × ۱
برای ۲۰ نفر چی؟ 🥀
اینجاست که ریاضی برای بعضی چیزهایی که زیاد تکرار میشن، یه اسم و نماد کوتاه‌تر درست می‌کنه.
فاکتوریل
به حاصل‌ضرب همه‌ی عددهای مثبت از ۱ تا یک عدد می‌گیم فاکتوریل.
مثلاً:
۵ × ۴ × ۳ × ۲ × ۱
رو به شکل کوتاه می‌نویسیم:
۵!
و می‌خونیم:
فاکتوریل ۵
پس:
۵! = ۵ × ۴ × ۳ × ۲ × ۱ = ۱۲۰
و مثلاً:
۳! = ۳ × ۲ × ۱ = ۶
حالا برگردیم به صف خودمون.
۵ نفر داشتیم و می‌خواستیم ببینیم چند حالت مختلف برای ایستادنشون وجود داره.
پس:
۵! = ۱۲۰
یعنی ۱۲۰ صف مختلف می‌تونیم داشته باشیم.
اما یه شرط جدید!
همون ۵ نفر رو داریم.
ولی این بار:
علی و رضا می‌خوان حتماً کنار هم باشن.
خب…
اینجا دیگه نمی‌تونیم همون ۵! رو مستقیم بزنیم.
چرا؟
چون ۵! شامل همه‌ی حالت‌های ممکن بود.
حتی حالت‌هایی که علی و رضا از هم فاصله دارن.
پس باید مسئله رو دوباره بشکنیم.
یه نگاه متفاوت
فرض کنیم علی و رضا رو مثل یک گروه در نظر بگیریم:
[علی + رضا]
حالا به جای ۵ نفر، انگار ۴ چیز داریم:
[علی + رضا]— نفر سوم — نفر چهارم — نفر پنجم
چند حالت برای قرار گرفتن این ۴ چیز داریم؟
بدون استفاده از نماد فاکتوریل:
۴ × ۳ × ۲ × ۱
پس:
۲۴ حالت
اما یه چیزی رو فراموش کردیم!
داخل اون گروه هم دو حالت داریم:
علی — رضا
یا:
رضا — علی
پس برای هرکدوم از اون ۲۴ حالت، ۲ حالت داخلی داریم.
بنابراین:
۲۴ × ۲ = ۴۸
پس جواب:
۴۸ حالت 🎉
حالا یه نکته‌ی قشنگ:
ما اول گفتیم:
۴ × ۳ × ۲ × ۱
ولی الان می‌دونیم که می‌تونیم خیلی کوتاه‌تر بنویسیم:
۴!
پس جواب مسئله در واقع:
۴! × ۲
و چون:
۴! = ۲۴
داریم:
۴! × ۲ = ۴۸
اینجا دیگه فاکتوریل فقط یه علامت قشنگ نیست.
یه ابزار کوتاه و کاربردیه که کمک می‌کنه مسائل شمارشی رو خیلی راحت‌تر بنویسیم.
حالا یه سوال برای فکر کردن:
اگر ۳ نفر بخوان حتماً کنار هم باشن، مثلاً:
علی — رضا — سارا
در یک صف ۵ نفره…
چند حالت مختلف داریم؟
اینجا دیگه باید خودت تصمیم بگیری:
این سه نفر رو چطوری می‌تونیم به یک «گروه» تبدیل کنیم؟
جوابش رو فعلاً نگه دار…
پارت بعدی می‌بینیم چی میشه.